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mardi 25 février 2014
par   Alain BUSSER

Gerbert d’Aurillac aurait découvert la numération décimale lors d’un séjour en Espagne, où les arabes effectuaient leurs calculs avec des chiffres (dont le 0) bien plus pratiques que les chiffres romains. Il ne semble pas avoir découvert l’existence du zéro, à moins qu’il ait trouvé plus pratique de laisser des cases vides dans son abaque pour représenter les zéros.

Toujours est-il qu’en déplaçant un jeton (ou « apice ») représentant un 4 plutôt que 4 boules d’un boulier, l’abaque de Gerbert soutient la comparaison par rapport au boulier. Et en évitant d’avoir à gommer les nombres, il soutient aussi la comparaison par rapport aux multiplications par écrit comme la technique de la multiplication par jalousies.

Voici, pour comparaison, l’abaque romain (à jetons non marqués), en version numérique et en version matérielle :

Abaque romain virtuel
fichier html à manipuler sur ordinateur ou tablette
Abaque romain matériel
fichier pdf à imprimer en format A3 ; utiliser des graines ou des bouchons de bouteille à défaut de jetons

Avantages de la version tablette :

  • Il n’est pas possible de perdre les jetons sur la tablette, alors qu’avec le vrai abaque, les jetons en ivoire devaient être précieusement conservés.
  • Il n’est pas possible de tourner les jetons sur l’abaque virtuel, ce qui rend le chiffre porté, immédiatement reconnaissable.

Pourtant, c’est probablement en faisant tourner les chiffres arabes de 90°, que Gerbert et ses contemporains ont inventé la graphie des chiffres 1, 2, 3 etc. Ainsi, le ٣ des Arabes est devenu un 3 par rotation d’un quart de tour vers la gauche.


Voici ensuite une séquence pouvant aller progressivement de l’abaque romain (jetons sans marque) à l’abaque de Gerbert (jetons portant des chiffres) :

jetons groupés jetons arrondis avec constellations jetons ressemblant à des dés jetons avec constellations et chiffres
romain accéléré
abaque romain à groupement de jetons
jetons dessinés sur des jetons
abaque de Gerbert à constellations
Gerbert joue aux dés
constellations similaires aux faces d’un dé
constellation et chiffres
abaque de Gerbert avec constellations et chiffres

Comme il est plus facile de dessiner (et peut-être même de reconnaître) des glyphes que des constellations, on passe ensuite à l’abaque de Gerbert avec chiffres latins (ce qui n’était pas le cas de l’original, celui-ci portant en effet des chiffres arabes, moins faciles à reconnaître pour des élèves européens), et on revient aux jetons arrondis :


Une séquence pédagogique sur l’abaque de Gerbert d’Aurillac peut être articulée en 4 étapes :

1) poser des jetons sur l’abaque juste pour représenter des nombres (numération décimale) 2) poser une addition sur les deux premières lignes de l’abaque puis l’effectuer 3) poser une soustraction (entre le nombre tout en haut et le nombre tout en bas) 4) poser une multiplication (entre le nombre tout en haut et le nombre tout en bas)
poser des nombres
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet
addition
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet
soustraction
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet
multiplication
cliquer droit pour ouvrir dans un nouvel onglet

Voici comment on peut utiliser l’abaque de Gerbert pour additionner 1024 avec 768 :

Voici comment on peut utiliser l’abaque de Gerbert pour soustraire 768 à 1024 :

Et voici comment on peut multiplier 1024 par 768 avec l’abaque de Gerbert :


Pour s’entraîner en ligne, voici la première étape (poser des nombres sans faire d’opérations)

abaque de Gerbert

Abaque de Gerbert

Le et l'été etc personnalité avec Sac Les Square Printemps Couleurs Sac Le Seule Frosted brown Sac nom épaule ZHANGJIA 80Xgwqx
100000 10000 milliers centaines dizaines unités
flower inShang inShang Large Large
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  1. La première ligne contient le nombre 0
  2. La seconde ligne contient le nombre 0
  3. La troisième ligne contient le nombre 0
  4. La quatrième ligne contient le nombre 0

Post-scriptum Voici l’abaque au format apk (pour installation sur Android). Le format visé est celui des smartphones mais sur tablette on a plus d’aisance avec les mouvements des jetons. Malgré cela ils sont un peu sensibles aux entrechocs.

abaque de Gerbert pour Android
télécharger le fichier puis l’ouvrir sous Android avec ES file explorer, ce qui devrait aboutir à son installation. Il peut être nécessaire de paramétrer Android pour qu’il accepte les fichiers apk non signés.

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Nouveaux programmes pour la maternelle

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Les lecteurs attentifs des futurs programmes de la maternelle, qui rentreront en vigueur à la rentrée 2015, ont pu remarquer qu’ils reprennent les positions défendues par Rémi Brissiaud depuis des années sur la construction du nombre. Le site de la CFEM (Commission française pour l’enseignement des mathématiques) propose une page résumant le débat sur ce thème, avec deux contributions de ce chercheur.

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Le thaMographe, médaille d’or au Concours Lépine européen 2013, est un instrument pratique, peu cher, performant, qui remplace à lui seul les quatre outils usuels de géométrie (compas, règle graduée, équerre, rapporteur). De nombreuses écoles l’on mis sur leur liste de fournitures scolaires. Le site d’accompagnement contient des tutoriels pour une utilisation du primaire au post-bac.

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La Cellule de Géométrie (Haute École en Hainaut, Belgique) met à la disposition des professeurs des documents concernant l’enseignement de la géométrie de 5 à 18 ans. L’objectif est de permettre aux élèves de s’approprier progressivement et naturellement la démarche scientifique.

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